与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $3x^3 - 6x^2 - 9x$ (2) $16x^3 - 9xy^2$ (3) $x^4 - 16$ (4) $4x^4 - 5x^2 + 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $3x^3 - 6x^2 - 9x$

(2) $16x^3 - 9xy^2$

(3) $x^4 - 16$

(4) $4x^4 - 5x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $3x^3 - 6x^2 - 9x$

まず、共通因数 $3x$ をくくり出す。

$3x^3 - 6x^2 - 9x = 3x(x^2 - 2x - 3)$

次に、$x^2 - 2x - 3$ を因数分解する。

$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$

したがって、

$3x^3 - 6x^2 - 9x = 3x(x - 3)(x + 1)$

(2) $16x^3 - 9xy^2$

式をよく見ると、$x$が共通因数なので、それをくくりだします。

$16x^3 - 9xy^2 = x(16x^2 - 9y^2)$

次に、$16x^2 - 9y^2$ を因数分解する。

$16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2$ と変形できるので、これは二乗の差の形である。

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$の公式を用いると、

$16x^2 - 9y^2 = (4x + 3y)(4x - 3y)$

したがって、

$16x^3 - 9xy^2 = x(4x + 3y)(4x - 3y)$

(3) $x^4 - 16$

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2$

これは二乗の差の形なので、

$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)$

さらに、$x^2 - 4$ は二乗の差の形なので、

$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

したがって、

$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$

(4) $4x^4 - 5x^2 + 1$

$x^2 = A$ とおくと、

$4x^4 - 5x^2 + 1 = 4A^2 - 5A + 1$

$4A^2 - 5A + 1 = (4A - 1)(A - 1)$

$A$ を $x^2$ に戻すと、

$4x^4 - 5x^2 + 1 = (4x^2 - 1)(x^2 - 1)$

$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2$ なので、二乗の差の形である。

$4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1)$

$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$

したがって、

$4x^4 - 5x^2 + 1 = (2x + 1)(2x - 1)(x + 1)(x - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $3x(x - 3)(x + 1)$

(2) $x(4x + 3y)(4x - 3y)$

(3) $(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$

(4) $(2x + 1)(2x - 1)(x + 1)(x - 1)$