与えられた3つの式を展開する問題です。 (1) $(a-1)(a+1)(a^2+1)$ (2) $(x-1)^2(x+1)^2$ (3) $(x+y)^2(x-y)^2(x^2+y^2)^2$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開する問題です。

(1) $(a-1)(a+1)(a^2+1)$

(2) $(x-1)^2(x+1)^2$

(3) $(x+y)^2(x-y)^2(x^2+y^2)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(a-1)(a+1)(a^2+1)$

まず、$(a-1)(a+1)$ を計算します。これは和と差の積の公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を使って、$a^2 - 1$ となります。

次に、$(a^2-1)(a^2+1)$ を計算します。これも同様に和と差の積の公式を使って $(a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$ となります。

(2) $(x-1)^2(x+1)^2$

この式は $((x-1)(x+1))^2$ と変形できます。

$(x-1)(x+1)$ は和と差の積の公式から $x^2 - 1$ となります。

したがって、$(x^2 - 1)^2$ を計算します。これは $(x^2-1)(x^2-1)$ と展開でき、$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使うと、 $(x^2)^2 - 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$ となります。

(3) $(x+y)^2(x-y)^2(x^2+y^2)^2$

この式は $((x+y)(x-y))^2(x^2+y^2)^2$ と変形できます。

$(x+y)(x-y)$ は和と差の積の公式から $x^2 - y^2$ となります。

したがって、$(x^2 - y^2)^2(x^2 + y^2)^2$ を計算します。

これは $((x^2 - y^2)(x^2 + y^2))^2$ と変形できます。

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$ は和と差の積の公式から $(x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$ となります。

最後に、$(x^4 - y^4)^2$ を計算します。これは $(x^4 - y^4)(x^4 - y^4)$ と展開でき、$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使うと、$(x^4)^2 - 2(x^4)(y^4) + (y^4)^2 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a^4 - 1$

(2) $x^4 - 2x^2 + 1$

(3) $x^8 - 2x^4y^4 + y^8$