$a > 1$ とする。定義域 $1 \le x \le a$ である関数 $y = -x^2 + 6x - 3$ について、最小値を求め、与えられた空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

$a > 1$ とする。定義域 $1 \le x \le a$ である関数 $y = -x^2 + 6x - 3$ について、最小値を求め、与えられた空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = -x^2 + 6x - 3$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 6x) - 3 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 3 = -(x - 3)^2 + 9 - 3 = -(x - 3)^2 + 6$

したがって、この関数の頂点は $(3, 6)$ です。

この関数は上に凸な放物線なので、定義域の端点で最小値を取る可能性があります。

定義域は $1 \le x \le a$ です。軸 $x=3$ の位置関係によって場合分けします。

(1) $1 < a < 3$ のとき

$x = a$ で最小値を取ります。

$y = -a^2 + 6a - 3$

(2) $a = 3$ のとき

$x = 1, 3$ で最小値を取ります。$x=1$ のとき $y = -1 + 6 - 3 = 2$ なので、$x=1, 3$ で最小値2を取ります。

(3) $3 < a$ のとき

$x = 1$ で最小値を取ります。

$y = -1 + 6 - 3 = 2$

したがって、

- $1 < a < 3$ のとき、 $x=a$ で最小値 $-a^2 + 6a - 3$ をとる。

- $a = 3$ のとき、 $x = 1, 3$ で最小値 2 をとる。

- $3 < a$ のとき、 $x = 1$ で最小値 2 をとる。

3. 最終的な答え

- カ: 3

- キ: a (⑦)

- ク: -a^2 + 6a - 3 (⑧)

- ケ: 1 (①)

- コ: 3 (③)

- サ: 2 (②)

- シ: 1 (①)

- ス: 2 (②)