関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の、定義域 $0 \le x \le 6$ における最大値を求める問題です。ただし、$a$ は定数であり、最大値は $a$ の値によって場合分けされます。解答群は、1, 6, 7, 2a+1, 38a-107, 3a^2+2a+1, 0 の7つです。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -3x^2 + 6ax + 2a + 1$ の、定義域 $0 \le x \le 6$ における最大値を求める問題です。ただし、$a$ は定数であり、最大値は $a$ の値によって場合分けされます。解答群は、1, 6, 7, 2a+1, 38a-107, 3a^2+2a+1, 0 の7つです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -3(x^2 - 2ax) + 2a + 1 = -3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a + 1 = -3(x-a)^2 + 3a^2 + 2a + 1$

よって、関数 $f(x)$ は、軸が $x=a$ の上に凸な放物線です。定義域 $0 \le x \le 6$ における最大値は、$a$ の値によって変わります。

(i) $a < 0$ のとき：

定義域内で $f(x)$ は単調減少なので、$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $f(0) = -3(0)^2 + 6a(0) + 2a + 1 = 2a + 1$

したがって、オ に入る数は $0$ で、カ に入るものは $2a+1$ (選択肢④)。

(ii) $0 \le a \le 6$ のとき：

軸 $x=a$ が定義域内にあるので、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $f(a) = 3a^2 + 2a + 1$

したがって、ク に入るものは $3a^2 + 2a + 1$ (選択肢⑥)。

(iii) $6 < a$ のとき：

定義域内で $f(x)$ は単調増加なので、$x=6$ で最大値をとります。

最大値は $f(6) = -3(6)^2 + 6a(6) + 2a + 1 = -108 + 36a + 2a + 1 = 38a - 107$

したがって、キ に入る数は $6$ で、ケ に入るものは $38a - 107$ (選択肢⑤)。

まとめると、

$a < 0$ のとき、最大値は $2a+1$

$0 \le a \le 6$ のとき、最大値は $3a^2 + 2a + 1$

$6 < a$ のとき、最大値は $38a - 107$

3. 最終的な答え

* オ：0

* カ：④

* キ：6

* ク：⑥

* ケ：⑤