## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を、与えられた定義域で求めなさい。

(1) $y = x^2 + 2x + 3 \quad (-2 \le x \le 2)$

(2) $y = -x^2 + 4x - 3 \quad (0 \le x \le 3)$

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1 \quad (1 \le x \le 3)$

(4) $y = -2x^2 + 12x \quad (0 \le x \le 6)$

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2. 解き方の手順

各関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。次に、定義域の両端の値と頂点のx座標が定義域に含まれているかどうかを考慮し、それぞれの$y$の値を計算します。これらの値の中で最大のものと最小のものが、それぞれ最大値と最小値になります。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$

平方完成すると、

$y = (x + 1)^2 + 2$

頂点は $(-1, 2)$ であり、定義域 $-2 \le x \le 2$ に含まれています。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 + 2(-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$

$x = 2$ のとき、$y = (2)^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$

$x = -1$ のとき、$y = 2$

したがって、最大値は 11 (x = 2)、最小値は 2 (x = -1)。

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$

平方完成すると、

$y = -(x - 2)^2 + 1$

頂点は $(2, 1)$ であり、定義域 $0 \le x \le 3$ に含まれています。

$x = 0$ のとき、$y = -0^2 + 4(0) - 3 = -3$

$x = 3$ のとき、$y = -3^2 + 4(3) - 3 = -9 + 12 - 3 = 0$

$x = 2$ のとき、$y = 1$

したがって、最大値は 1 (x = 2)、最小値は -3 (x = 0)。

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$

平方完成すると、

$y = 3(x + 1)^2 - 4$

頂点は $(-1, -4)$ であり、定義域 $1 \le x \le 3$ に含まれていません。

$x = 1$ のとき、$y = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$

$x = 3$ のとき、$y = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$

したがって、最大値は 44 (x = 3)、最小値は 8 (x = 1)。

(4) $y = -2x^2 + 12x$

平方完成すると、

$y = -2(x - 3)^2 + 18$

頂点は $(3, 18)$ であり、定義域 $0 \le x \le 6$ に含まれています。

$x = 0$ のとき、$y = -2(0)^2 + 12(0) = 0$

$x = 6$ のとき、$y = -2(6)^2 + 12(6) = -72 + 72 = 0$

$x = 3$ のとき、$y = 18$

したがって、最大値は 18 (x = 3)、最小値は 0 (x = 0, 6)。

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3. 最終的な答え

(1) 最大値: 11 (x = 2), 最小値: 2 (x = -1)

(2) 最大値: 1 (x = 2), 最小値: -3 (x = 0)

(3) 最大値: 44 (x = 3), 最小値: 8 (x = 1)

(4) 最大値: 18 (x = 3), 最小値: 0 (x = 0, 6)