与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられています。 (2) 軸の方程式と通る2点の座標が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられています。

(2) 軸の方程式と通る2点の座標が与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が$(-2, 4)$なので、2次関数は$y = a(x+2)^2 + 4$と表すことができます。

点$(-4, 2)$を通るので、この式に$x = -4$, $y = 2$を代入すると、

$2 = a(-4+2)^2 + 4$

$2 = 4a + 4$

$-2 = 4a$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、2次関数は$y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 + 4$となります。

展開すると、$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) + 4 = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 2 + 4 = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$

(2) 軸が$x = 2$なので、2次関数は$y = a(x-2)^2 + q$と表すことができます。

点$(-1, 5)$と$(1, -11)$を通るので、

$5 = a(-1-2)^2 + q = 9a + q$

$-11 = a(1-2)^2 + q = a + q$

2つの式を連立させて解きます。

$5 = 9a + q$

$-11 = a + q$

上の式から下の式を引くと、

$16 = 8a$

$a = 2$

$q = -11 - a = -11 - 2 = -13$

したがって、2次関数は$y = 2(x-2)^2 - 13$となります。

展開すると、$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 13 = 2x^2 - 8x + 8 - 13 = 2x^2 - 8x - 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$

(2) $y = 2x^2 - 8x - 5$