$\left(\frac{5}{7}\right)^{20}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数が現れるか。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 7 = 0.8451$ とする。

1. 問題の内容

$\left(\frac{5}{7}\right)^{20}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数が現れるか。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 7 = 0.8451$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$\left(\frac{5}{7}\right)^{20}$ の常用対数を考えます。

$\log_{10}\left(\frac{5}{7}\right)^{20} = 20 \log_{10}\left(\frac{5}{7}\right) = 20 (\log_{10} 5 - \log_{10} 7)$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、

$\log_{10}\left(\frac{5}{7}\right)^{20} = 20 (0.6990 - 0.8451) = 20 (-0.1461) = -2.922$

$\log_{10}\left(\frac{5}{7}\right)^{20} = -2.922 = -3 + 0.078$

これは、$\left(\frac{5}{7}\right)^{20} = 10^{-3+0.078} = 10^{-3} \times 10^{0.078}$ であることを意味します。

ここで、$10^{0.078}$ は1と10の間の数であり、$10^{0.078}>1$なので、$\left(\frac{5}{7}\right)^{20}$ は小数第3位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

小数第3位