(1) 正四角錐の5つの面を5色の絵の具で塗り分ける方法は何通りあるか。 (2) 立方体の6つの面を6色の絵の具で塗り分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 正四角錐の5つの面を5色の絵の具で塗り分ける方法は何通りあるか。

(2) 立方体の6つの面を6色の絵の具で塗り分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 正四角錐の場合

底面は正方形で、側面は4つの合同な三角形です。

まず、底面の色を固定します。5色の中から1色を選ぶので、5通りの選び方があります。

次に、側面の4つの三角形の色を決めます。4色を円順列のように並べるので、並べ方は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

したがって、正四角錐の塗り分け方は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

(2) 立方体の場合

まず、1つの面の色を固定します。6色の中から1色を選ぶので、6通りの選び方があります。

次に、その向かい側の面の色を決めます。残りの5色の中から1色を選ぶので、5通りの選び方があります。

残りの4つの側面の色を決めます。4色を円順列のように並べるので、並べ方は $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

したがって、立方体の塗り分け方は $6 \times 5 \times 6 = 180$ 通りです。

しかし、立方体は回転させることができるので、回転によって同じになるものを除外する必要があります。

立方体の対称性を考慮すると、固定した面に対して向かい側の面を決める際に、残りの4つの側面を円順列のように考える必要はありません。

立方体の1つの面を固定し、その向かい側の面を固定すると、残りの4つの側面は互いに区別できます。そのため、4つの側面を4色で並べる順列は $4! = 24$ 通りです。

したがって、立方体の塗り分け方は $6 \times 5 \times 24 / (4 \times 1)$ 通りではありません。

正しくは、立方体の塗り分け方は、$6!$ 通りの塗り方を立方体の回転対称性で割る必要があります。

立方体の回転対称性は24通りあるので、$6! / 24 = (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) / 24 = 720 / 24 = 30$ 通りです。

まず、ある面を固定すると、その面の塗り方は6通り。

次に、その向かい側の面を固定すると、塗り方は5通り。

残りの4つの側面は円順列に並べると考えて、$(4-1)!=3!=6$通り。

よって、塗り分け方は $6 \times 5 \times 6 = 180$通り。

しかし、ある面を固定せず、空間で自由に回転できると考えると、立方体の回転群の位数は24なので、 $6! / 24 = 30$ 通りとなる。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 30通り