複数の問題が掲載されています。以下、それぞれを個別に解答します。 (1) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{2, 6\}$ について、以下の個数を求めます。 1. $n(A)$ 2. $n(B)$ 3. $n(A \cup B)$ (2) 100以下の自然数のうち、以下の個数を求めます。 1. 3の倍数 2. 3の倍数かつ5の倍数 3. 3の倍数または5の倍数 (3) 1個のサイコロを2回投げるとき、目の和が4の倍数になる場合は何通りあるか。 (4) 大中小3個のサイコロを投げるとき、全ての目が4以上である出方は何通りあるか。 (5) 次の値を求めます。 1. ${}_4P_2$ 2. $4!$ 3. ${}_6C_3$ 4. ${}_{100}C_{99}$ (6) 色の異なる6個の玉について、以下のように並べる方法は何通りあるか。 1. 異なる4個を取り出し1列に並べる。 2. 6個全てを円形に並べる。 (7) 正七角形について、以下の数を求めます。 1. 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 2. 対角線の本数 (8) 3種類の数字1, 2, 3の中から、重複を許して4個の数字を取り出し4桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。 (9) 8人の生徒をA, Bの2つの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、空室ができないようにする。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

複数の問題が掲載されています。以下、それぞれを個別に解答します。

(1) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{2, 6\}$ について、以下の個数を求めます。

1. $n(A)$

2. $n(B)$

3. $n(A \cup B)$

(2) 100以下の自然数のうち、以下の個数を求めます。

1. 3の倍数

2. 3の倍数かつ5の倍数

3. 3の倍数または5の倍数

(3) 1個のサイコロを2回投げるとき、目の和が4の倍数になる場合は何通りあるか。

(4) 大中小3個のサイコロを投げるとき、全ての目が4以上である出方は何通りあるか。

(5) 次の値を求めます。

1. ${}_4P_2$

2. $4!$

3. ${}_6C_3$

4. ${}_{100}C_{99}$

(6) 色の異なる6個の玉について、以下のように並べる方法は何通りあるか。

1. 異なる4個を取り出し1列に並べる。

2. 6個全てを円形に並べる。

(7) 正七角形について、以下の数を求めます。

1. 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

2. 対角線の本数

(8) 3種類の数字1, 2, 3の中から、重複を許して4個の数字を取り出し4桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。

(9) 8人の生徒をA, Bの2つの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、空室ができないようにする。

2. 解き方の手順

(1)

1. $n(A)$ は集合Aの要素の個数なので、$n(A) = 4$

2. $n(B)$ は集合Bの要素の個数なので、$n(B) = 2$

3. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ なので、$n(A \cup B) = 5$

(2)

1. 100以下の3の倍数は $\lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$ 個

2. 3の倍数かつ5の倍数は15の倍数なので、$\lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6$ 個

3. 3の倍数または5の倍数は、$33 + \lfloor \frac{100}{5} \rfloor - 6 = 33 + 20 - 6 = 47$ 個

(3)

サイコロを2回投げたときの目の和が4の倍数になるのは、4, 8, 12のとき。

和が4になるのは (1, 3), (2, 2), (3, 1) の3通り

和が8になるのは (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) の5通り

和が12になるのは (6, 6) の1通り

合計 3 + 5 + 1 = 9通り

(4)

大中小3個のサイコロの目が全て4以上になるのは、各サイコロの目が4, 5, 6のいずれかである場合。

それぞれ3通りの出方があるので、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

(5)

1. ${}_4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

2. $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

3. ${}_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

4. ${}_{100}C_{99} = \frac{100!}{99!(100-99)!} = \frac{100!}{99!1!} = 100$

(6)

1. 異なる4個を取り出し1列に並べるのは ${}_6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り

2. 6個全てを円形に並べるのは $(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り

(7)

1. 正七角形の3個の頂点を選ぶ組み合わせは ${}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 個

2. 正七角形の対角線の本数は $\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$ 本

(8)

4桁の整数の各桁は1, 2, 3のいずれかなので、$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$個

(9)

8人の生徒をA, Bの2つの部屋に入れる場合、各生徒がAかBのどちらかの部屋に入るので、$2^8 = 256$通りの分け方があります。

ただし、空室ができないようにするので、AまたはBに全員が入る場合を除きます。

Aに全員入る場合とBに全員入る場合の2通りを除くと、 $256 - 2 = 254$通り。

3. 最終的な答え

(1)

1. $n(A) = 4$

2. $n(B) = 2$

3. $n(A \cup B) = 5$

(2)

1. 3の倍数: 33個

2. 3の倍数かつ5の倍数: 6個

3. 3の倍数または5の倍数: 47個

(3) 9通り

(4) 27通り

(5)

1. ${}_4P_2 = 12$

2. $4! = 24$

3. ${}_6C_3 = 20$

4. ${}_{100}C_{99} = 100$

(6)

1. 360通り

2. 120通り

(7)

1. 35個

2. 14本

(8) 81個

(9) 254通り