$\sin \theta = \frac{5}{7}$のとき、$\theta$が鋭角である場合と鈍角である場合について、それぞれ$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。

その他三角関数三角比sincostan角度鋭角鈍角
2025/7/3

1. 問題の内容

sinθ=57\sin \theta = \frac{5}{7}のとき、θ\thetaが鋭角である場合と鈍角である場合について、それぞれcosθ\cos \thetatanθ\tan \thetaの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) θ\thetaが鋭角の場合
sin2θ+cos2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1の関係を利用してcosθ\cos \thetaを求める。
cos2θ=1sin2θ=1(57)2=12549=492549=2449\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{49 - 25}{49} = \frac{24}{49}
θ\thetaは鋭角なので、cosθ>0\cos \theta > 0である。したがって、
cosθ=2449=247=267\cos \theta = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}
次に、tanθ=sinθcosθ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}の関係を利用してtanθ\tan \thetaを求める。
tanθ=57267=57726=526=56266=5612\tan \theta = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{2\sqrt{6}}{7}} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{2\sqrt{6}} = \frac{5}{2\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{12}
(2) θ\thetaが鈍角の場合
sin2θ+cos2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1の関係を利用してcosθ\cos \thetaを求める。
cos2θ=1sin2θ=1(57)2=12549=492549=2449\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{49 - 25}{49} = \frac{24}{49}
θ\thetaは鈍角なので、cosθ<0\cos \theta < 0である。したがって、
cosθ=2449=247=267\cos \theta = -\sqrt{\frac{24}{49}} = -\frac{\sqrt{24}}{7} = -\frac{2\sqrt{6}}{7}
次に、tanθ=sinθcosθ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}の関係を利用してtanθ\tan \thetaを求める。
tanθ=57267=57726=526=56266=5612\tan \theta = \frac{\frac{5}{7}}{-\frac{2\sqrt{6}}{7}} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{-2\sqrt{6}} = -\frac{5}{2\sqrt{6}} = -\frac{5\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = -\frac{5\sqrt{6}}{12}

3. 最終的な答え

(1) θ\thetaが鋭角の場合: cosθ=267\cos \theta = \frac{2\sqrt{6}}{7}, tanθ=5612\tan \theta = \frac{5\sqrt{6}}{12}
(2) θ\thetaが鈍角の場合: cosθ=267\cos \theta = -\frac{2\sqrt{6}}{7}, tanθ=5612\tan \theta = -\frac{5\sqrt{6}}{12}

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