全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$、集合 $B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ が与えられています。 (1) $A \cap B$ (AとBの共通部分) を求める。 (2) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分) を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$、集合 $B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ が与えられています。

(1) $A \cap B$ (AとBの共通部分) を求める。

(2) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分) を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ (AとBの共通部分) を求めます。これは、AとBの両方に含まれる要素の集合です。

Aの要素は1, 3, 5, 6, 7, 9です。

Bの要素は2, 3, 4, 5, 7です。

両方に含まれる要素は3, 5, 7です。

したがって、$A \cap B = \{3, 5, 7\}$です。

(2) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分) を求めます。まず、Aの補集合 $\overline{A}$ を求めます。これは、全体集合UからAの要素を除いたものです。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 3, 5, 6, 7, 9\} = \{2, 4, 8\}$ です。

次に、$\overline{A}$ と B の共通部分を求めます。

$\overline{A} = \{2, 4, 8\}$

$B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

$\overline{A} \cap B = \{2, 4, 8\} \cap \{2, 3, 4, 5, 7\} = \{2, 4\}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 5, 7\}$

(2) $\overline{A} \cap B = \{2, 4\}$