次の等式を証明する問題です。 $\frac{sin(\alpha - \beta)}{sin(\alpha + \beta)} = \frac{tan \alpha - tan \beta}{tan \alpha + tan \beta}$

1. 問題の内容

次の等式を証明する問題です。

$\frac{sin(\alpha - \beta)}{sin(\alpha + \beta)} = \frac{tan \alpha - tan \beta}{tan \alpha + tan \beta}$

2. 解き方の手順

左辺を変形して右辺に一致させることを試みます。

まず、正弦の加法定理と減法定理を適用します。

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$

$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$

よって、

$\frac{sin(\alpha - \beta)}{sin(\alpha + \beta)} = \frac{sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta}{sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta}$

次に、分子と分母を$cos\alpha cos\beta$で割ります。

$\frac{sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta}{sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta} = \frac{\frac{sin\alpha cos\beta}{cos\alpha cos\beta} - \frac{cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}{\frac{sin\alpha cos\beta}{cos\alpha cos\beta} + \frac{cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}} = \frac{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} - \frac{sin\beta}{cos\beta}}{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{sin\beta}{cos\beta}}$

ここで、$tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$および$tan\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta}$であることを用いると、

$\frac{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} - \frac{sin\beta}{cos\beta}}{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{sin\beta}{cos\beta}} = \frac{tan\alpha - tan\beta}{tan\alpha + tan\beta}$

したがって、$\frac{sin(\alpha - \beta)}{sin(\alpha + \beta)} = \frac{tan\alpha - tan\beta}{tan\alpha + tan\beta}$が証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{sin(\alpha - \beta)}{sin(\alpha + \beta)} = \frac{tan \alpha - tan \beta}{tan \alpha + tan \beta}$