数列 $0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, \dots$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 10 が最初に出現するのは第何項か。 (2) 第 290 項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, \dots$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 10 が最初に出現するのは第何項か。

(2) 第 290 項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列の規則性を見つけます。

0 は 1 個、1 は 2 個、2 は 3 個、3 は 4 個、…、$n$ は $n+1$ 個並んでいます。

$n$ が初めて現れる項数を $a_n$ とすると、

$a_n = 1 + 1 + 2 + 3 + \dots + n = 1 + \sum_{k=1}^{n} k = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、$a_n = \frac{n^2+n+2}{2}$

$a_{10} = \frac{10^2+10+2}{2} = \frac{100+10+2}{2} = \frac{112}{2} = 56$

よって、10 が最初に出現するのは第 56 項。

(2) 第290項を求めます。

$a_n = \frac{n(n+1)}{2} < 290$ となる最大の整数 $n$ を求めます。

$n(n+1) < 580$

$n^2 + n - 580 < 0$

$n \approx 23$ のとき $23 \times 24 = 552$

$n \approx 24$ のとき $24 \times 25 = 600$

よって、$n = 23$

$1 + \sum_{k=1}^{23}k = 1 + \frac{23 \times 24}{2} = 1 + 23 \times 12 = 1 + 276 = 277$

23 は 277 項まで並んでいます。

$290 - 277 = 13$

つまり、24 は 13 個並んでいます。

よって、第 290 項は 24 です。

3. 最終的な答え

(1) 56 項

(2) 24