全体集合$U = \{x | 1 \le x \le 10, xは整数\}$の部分集合$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$, $B = \{2, 3, 8, 10\}$について、以下の集合を求める。 (1) $A \cup B$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A}$ (4) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{x | 1 \le x \le 10, xは整数\}$の部分集合$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$, $B = \{2, 3, 8, 10\}$について、以下の集合を求める。

(1) $A \cup B$

(2) $A \cap B$

(3) $\overline{A}$

(4) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の要素をすべて合わせた集合です。重複する要素は一度だけ書きます。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$

$B = \{2, 3, 8, 10\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

(2) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$

$B = \{2, 3, 8, 10\}$

$A \cap B = \{2, 3\}$

(3) $\overline{A}$ は、全体集合$U$の中で、$A$ に含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$

$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(4) $\overline{A \cup B}$ は、全体集合$U$の中で、$A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

(2) $A \cap B = \{2, 3\}$

(3) $\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$