画像には、整数と自然数に関する4つの命題があります。それぞれの命題が正しいかどうか判断する必要があります。 (1) 整数と整数の和は常に整数である。 (2) 整数と自然数の差は常に整数である。 (3) 整数と自然数の積は常に整数である。 (4) 整数と自然数の商は常に整数である。

1. 問題の内容

画像には、整数と自然数に関する4つの命題があります。それぞれの命題が正しいかどうか判断する必要があります。

(1) 整数と整数の和は常に整数である。

(2) 整数と自然数の差は常に整数である。

(3) 整数と自然数の積は常に整数である。

(4) 整数と自然数の商は常に整数である。

2. 解き方の手順

(1) 整数と整数の和：

整数は正の整数、負の整数、0を含む数です。整数の集合を Z とすると、任意の $a \in Z$ と $b \in Z$ に対して、$a + b \in Z$ です。例えば、2 + 3 = 5, -2 + 3 = 1, -2 + (-3) = -5, 2 + (-2) = 0 です。したがって、この命題は正しいです。

(2) 整数と自然数の差：

自然数は正の整数です。自然数の集合を N とすると、任意の $a \in Z$ と $b \in N$ に対して、$a - b$ が常に整数になるかどうかを考えます。例えば、3 - 2 = 1, -3 - 2 = -5 です。しかし、2 - (-3) は定義されていません（自然数から整数を引く操作は考えていません）。自然数 $b$ は必ず正なので、$a - b$ は整数になります。したがって、この命題は正しいです。

(3) 整数と自然数の積：

任意の $a \in Z$ と $b \in N$ に対して、$a \times b$ が常に整数になるかどうかを考えます。例えば、2 x 3 = 6, -2 x 3 = -6, 0 x 3 = 0 です。整数の積は整数になるので、この命題は正しいです。

(4) 整数と自然数の商：

任意の $a \in Z$ と $b \in N$ に対して、$a / b$ が常に整数になるかどうかを考えます。例えば、6 / 3 = 2 ですが、7 / 3 は整数ではありません。したがって、この命題は正しくありません。

3. 最終的な答え

(1) 整数と整数の和は常に整数である。 **正しい**

(2) 整数と自然数の差は常に整数である。 **正しい**

(3) 整数と自然数の積は常に整数である。 **正しい**

(4) 整数と自然数の商は常に整数である。 **正しくない**