$\sqrt[3]{27\sqrt[3]{16}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{27\sqrt[3]{16}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{16}$ を簡略化します。

$16 = 2^4$ であるから、

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

したがって、与えられた式は

$\sqrt[3]{27 \cdot 2\sqrt[3]{2}}$

と書き換えられます。

次に、根号の中を計算します。

$\sqrt[3]{27 \cdot 2\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{54\sqrt[3]{2}}$

さらに、$\sqrt[3]{2}$を$\sqrt[9]{8}$と書き換えます

$\sqrt[3]{54 \sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{54 \sqrt[9]{8}} = \sqrt[3]{54 \cdot 2^{1/3}}$

これは、$\sqrt[3]{54\sqrt[3]{2}} = (54 \cdot 2^{1/3})^{1/3} = 54^{1/3} \cdot 2^{1/9}$

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

なので、$54^{1/3} = (2 \cdot 3^3)^{1/3} = 3 \cdot 2^{1/3}$

したがって、

$54^{1/3} \cdot 2^{1/9} = 3 \cdot 2^{1/3} \cdot 2^{1/9} = 3 \cdot 2^{(1/3) + (1/9)} = 3 \cdot 2^{(3/9) + (1/9)} = 3 \cdot 2^{4/9}$

これを $\sqrt[9]{ }$ の形で書き直すと

$3\sqrt[9]{2^4} = 3\sqrt[9]{16}$

ここで、最初に与えられた式を

$\sqrt[3]{27\sqrt[3]{16}} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{16}} = 3 \cdot \sqrt[9]{16}$

と変形できます。

ここで、$\sqrt[3]{27} = 3$ であり、

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[9]{16}$ です。

3. 最終的な答え

$3\sqrt[9]{16}$