$A, B, C$ が $n$ 次正方行列であるとき、以下の等式を示す問題です。 $\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} = (-1)^n |B||C|$ ## 解き方の手順 1. 基本的な行列の変形を利用します。具体的には、行列式を変化させずに、行または列の入れ替え、行または列のスカラー倍、および行または列の定数倍の加算を行うことができます。

## 問題8

1. 問題の内容

$A, B, C$ が $n$ 次正方行列であるとき、以下の等式を示す問題です。

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} = (-1)^n |B||C|$

## 解き方の手順

1. 基本的な行列の変形を利用します。具体的には、行列式を変化させずに、行または列の入れ替え、行または列のスカラー倍、および行または列の定数倍の加算を行うことができます。

2. 与えられた行列 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix}$ に対して、$n$ 回の列の入れ替えを行うことで、$B$を左上に移動させ、$A$を右上に、$O$を左下に、$C$を右下に移動させることを考えます。各入れ替えは行列式の符号を反転させることに注意します。

3. 具体的な手順は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix}$ の$n$個の列を入れ替えて、$\begin{vmatrix} B & A \\ O & C \end{vmatrix}$ とします。このとき、符号が$(-1)^n$倍されます。

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} = (-1)^n \begin{vmatrix} B & A \\ O & C \end{vmatrix}$

4. 行列式 $\begin{vmatrix} B & A \\ O & C \end{vmatrix}$ について、ブロック行列の行列式を計算する公式を適用します。具体的には、

$\begin{vmatrix} B & A \\ O & C \end{vmatrix} = |B||C|$

5. 上記の結果を組み合わせることで、以下の等式が得られます。

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} = (-1)^n |B||C|$

## 最終的な答え

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & O \end{vmatrix} = (-1)^n |B||C|$

## 問題9

1. 問題の内容

$A, B$ が $n$ 次正方行列であるとき、以下の等式を示す問題です。

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A - B||A + B|$

2. 解き方の手順

1. 行列式を変形するために、基本変形を行います。具体的には、ある行（または列）の定数倍を別の行（または列）に加える操作です。このような操作は行列式の値を変更しません。

2. 与えられた行列 $\begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}$ に対し、以下の操作を行います。

* 第1ブロック行に第2ブロック行を加える。

* 第2ブロック行から第1ブロック行を引く。

3. 具体的な手順は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix}$

第1ブロック行に第2ブロック行を加えると、

$\begin{vmatrix} A + B & A + B \\ B & A \end{vmatrix}$

第1ブロック列から第2ブロック列を引くと、

$\begin{vmatrix} A + B & 0 \\ B & A - B \end{vmatrix}$

4. ブロック行列の行列式の公式を適用します。具体的には、対角ブロック行列の行列式は、各ブロックの行列式の積に等しくなります。つまり、

$\begin{vmatrix} A + B & 0 \\ B & A - B \end{vmatrix} = |A + B||A - B|$

5. 行列式の性質より、$|A-B||A+B| = |A + B||A - B|$なので、

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A + B||A - B| = |A - B||A + B|$

3. 最終的な答え

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A - B||A + B|$