数列 $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列は、奇数の二乗の和です。

まず、奇数を $2k-1$ と表し、その二乗和を考えます。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$

この式を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$

和の記号を分配します。

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$k^2$、$k$、定数の和の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

上記の公式を代入します。

$4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

約分します。

$\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

通分します。

$\frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$

$n$ でくくります。

$\frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3}$

括弧内を展開します。

$\frac{n[2(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 3]}{3}$

$\frac{n[4n^2+6n+2 - 6n - 3]}{3}$

$\frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

因数分解します。

$\frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$