二次関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ の定義域が $-1 \le x \le 0$ であるとき、この関数の値域を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ の定義域が $-1 \le x \le 0$ であるとき、この関数の値域を求めます。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 - 4x + 2$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + 2$

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

よって、頂点の座標は $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ となります。

次に、定義域 $-1 \le x \le 0$ における関数の最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標である $-\frac{2}{3}$ は定義域に含まれています。したがって、最大値は頂点の $y$ 座標である $\frac{10}{3}$ です。

$x = -1$ のとき、

$y = -3(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -3 + 4 + 2 = 3$

$x = 0$ のとき、

$y = -3(0)^2 - 4(0) + 2 = 2$

したがって、最小値は $x = 0$ のときの $y = 2$ です。

以上より、値域は $2 \le y \le \frac{10}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$2 \le y \le \frac{10}{3}$