問題190：以下の放物線を平行移動して、頂点が点(2, 3)になったときの、移動後の放物線の方程式を求める。 (1) $y = -2x^2$ (2) $y = x^2 - x - 2$ (3) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$

1. 問題の内容

問題190：以下の放物線を平行移動して、頂点が点(2, 3)になったときの、移動後の放物線の方程式を求める。

(1) $y = -2x^2$

(2) $y = x^2 - x - 2$

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$

2. 解き方の手順

放物線の頂点が(2, 3)になるように平行移動させるので、以下の手順で解く。

(1) $y = -2x^2$

元の放物線の頂点は(0, 0)である。したがって、x軸方向に2、y軸方向に3だけ平行移動させる。

$y - 3 = -2(x - 2)^2$

$y = -2(x - 2)^2 + 3$

$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 3$

$y = -2x^2 + 8x - 8 + 3$

$y = -2x^2 + 8x - 5$

(2) $y = x^2 - x - 2$

平方完成して頂点を求める。

$y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2$

$y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$である。

したがって、x軸方向に $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$、y軸方向に $3 - (-\frac{9}{4}) = 3 + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}$だけ平行移動させる。

$y - \frac{21}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 - (x - \frac{1}{2})^2$

$y = (x - 2)^2 + 3$

$y = x^2 - 4x + 4 + 3$

$y = x^2 - 4x + 7$

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$

平方完成して頂点を求める。

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 6x) - 1$

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) - 1$

$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - 3 - 1$

$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - 4$

頂点は(-3, -4)である。

したがって、x軸方向に $2 - (-3) = 5$、y軸方向に $3 - (-4) = 7$だけ平行移動させる。

$y - 7 = \frac{1}{3}(x - 5 + 3)^2$

$y = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 7$

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4) + 7$

$y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} + 7$

$y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{25}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 8x - 5$

(2) $y = x^2 - 4x + 7$

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{25}{3}$