数列の和 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$ を求める。

1. 問題の内容

数列の和 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$ とおく。

この式に4をかけると、

$4S = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \dots + (n-1) \cdot 4^{n-1} + n \cdot 4^n$ となる。

$S - 4S$ を計算すると、

$-3S = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} - n \cdot 4^n$

$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1}$ は初項1、公比4、項数nの等比数列の和なので、

$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} = \frac{1 \cdot (4^n - 1)}{4-1} = \frac{4^n - 1}{3}$

したがって、

$-3S = \frac{4^n - 1}{3} - n \cdot 4^n$

$-3S = \frac{4^n - 1 - 3n \cdot 4^n}{3} = \frac{(1 - 3n)4^n - 1}{3}$

$S = \frac{(3n - 1)4^n + 1}{9}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(3n - 1)4^n + 1}{9}$