与えられた二次関数 $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$ を平方完成し、頂点の座標を求めます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$ を平方完成し、頂点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた二次関数を平方完成します。

まず、$x^2$の係数$\frac{1}{3}$で$x^2$と$x$の項を括ります。

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 6x) - 1$

次に、括弧の中を平方完成します。$x$の係数6の半分である3の二乗を足して引きます。

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 6x + 3^2 - 3^2) - 1$

$y = \frac{1}{3}((x+3)^2 - 9) - 1$

括弧を外し、整理します。

$y = \frac{1}{3}(x+3)^2 - \frac{1}{3} \cdot 9 - 1$

$y = \frac{1}{3}(x+3)^2 - 3 - 1$

$y = \frac{1}{3}(x+3)^2 - 4$

したがって、頂点の座標は $(-3, -4)$ です。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(-3, -4)$ です。