問題は、以下の2つの数列の和 $S$ を求めるものです。 (1) $S = \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{2n(2n+2)}$ (2) $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの数列の和 $S$ を求めるものです。

(1) $S = \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{2n(2n+2)}$

(2) $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

2. 解き方の手順

(1) について

各項を部分分数分解します。

$\frac{1}{2k(2k+2)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

これを用いて、$S$ を書き換えます。

$S = \frac{1}{4} \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right\}$

括弧の中は、隣り合う項が打ち消し合うので、初めの項と最後の項のみが残ります。

$S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{n}{n+1}$

したがって、$S = \frac{n}{4(n+1)}$

(2) について

各項を部分分数分解します。

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

これを用いて、$S$ を書き換えます。

$S = \frac{1}{3} \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \right\}$

括弧の中は、隣り合う項が打ち消し合うので、初めの項と最後の項のみが残ります。

$S = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{3n+1}$

したがって、$S = \frac{n}{3n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{n}{4(n+1)}$

(2) $S = \frac{n}{3n+1}$