自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表せ。 (2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表せ。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

第 $n$ 群の最初の数は、第 $n-1$ 群までの項数の和に1を加えたものである。第 $k$ 群には $2^{k-1}$ 個の数が入っているので、第 $n-1$ 群までの項数の和は、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-2} = \frac{1 \cdot (2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1}-1$

したがって、第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}-1 + 1 = 2^{n-1}$ である。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}$ であり、第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の数が入るので、第 $n$ 群の最後の数は $2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$ である。

したがって、第 $n$ 群の数の和 $S$ は、初項 $2^{n-1}$、末項 $2^n - 1$、項数 $2^{n-1}$ の等差数列の和である。

$S = \frac{2^{n-1}}{2}(2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}$。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ は $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$。