和 $S = \sum_{k=1}^{n} (k+1)2^k$ を計算する問題です。 式(1)と式(2)の差をとることで、和 $S$ を求めることができます。 式(1)は、$S = 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + (n+1) \cdot 2^n$ 式(2)は、$2S = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n + (n+1) \cdot 2^{n+1}$ この差から $S = (\boxed{15}) 2^{\boxed{16}}$ を導きます。$\boxed{15}, \boxed{16}$ に当てはまる選択肢を選びます。選択肢は以下の通りです。 ① $n-1$ ② $n$ ③ $n+1$

1. 問題の内容

和 $S = \sum_{k=1}^{n} (k+1)2^k$ を計算する問題です。

式(1)と式(2)の差をとることで、和 $S$ を求めることができます。

式(1)は、$S = 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + (n+1) \cdot 2^n$

式(2)は、$2S = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n + (n+1) \cdot 2^{n+1}$

この差から $S = (\boxed{15}) 2^{\boxed{16}}$ を導きます。$\boxed{15}, \boxed{16}$ に当てはまる選択肢を選びます。選択肢は以下の通りです。

① $n-1$

② $n$

③ $n+1$

2. 解き方の手順

まず、式(1)から式(2)を引きます。

$S - 2S = 2 \cdot 2^1 + (3-2) \cdot 2^2 + (4-3) \cdot 2^3 + \dots + ((n+1) - n) \cdot 2^n - (n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 4 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - (n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 4 + \sum_{k=2}^{n} 2^k - (n+1) \cdot 2^{n+1}$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{n} ar^k = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ を用いると、

$\sum_{k=2}^{n} 2^k = \sum_{k=0}^{n} 2^k - 2^0 - 2^1 = \frac{1-2^{n+1}}{1-2} - 1 - 2 = 2^{n+1} - 1 - 3 = 2^{n+1} - 4$

したがって、

$-S = 4 + 2^{n+1} - 4 - (n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2^{n+1} - (n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = (1 - (n+1)) 2^{n+1}$

$-S = -n \cdot 2^{n+1}$

$S = n \cdot 2^{n+1}$

よって、$S = (\boxed{n}) 2^{\boxed{n+1}}$ となるので、

$\boxed{15}$ は $n$、$\boxed{16}$ は $n+1$ になります。

3. 最終的な答え

15: ②

16: ③