与えられた数列 $1, 3, 7, 13, 21, 31, \dots$ について、以下の問題を解きます。 (1) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 3, 7, 13, 21, 31, \dots$ について、以下の問題を解きます。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

まず、階差数列を考えます。与えられた数列を $\{a_n\}$ とすると、階差数列 $\{b_n\}$ は

$b_n = a_{n+1} - a_n$

で与えられます。与えられた数列の階差数列を計算すると、

$b_1 = 3-1 = 2$

$b_2 = 7-3 = 4$

$b_3 = 13-7 = 6$

$b_4 = 21-13 = 8$

$b_5 = 31-21 = 10$

となり、階差数列は $2, 4, 6, 8, 10, \dots$ となります。これは初項が 2 で公差が 2 の等差数列なので、階差数列の一般項は

$b_n = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2n$

となります。

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 2\frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ となり、与えられた数列の初項と一致します。

よって、$a_n = n^2 - n + 1$

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - k + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 6n}{6} = \frac{n[(n+1)(2n+1) - 3(n+1) + 6]}{6} = \frac{n[2n^2+3n+1-3n-3+6]}{6} = \frac{n(2n^2+4)}{6} = \frac{2n(n^2+2)}{6} = \frac{n(n^2+2)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - n + 1$

(2) $S_n = \frac{n(n^2+2)}{3}$