(6) 2次方程式 $x^2 - 2x + m = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求める。 (7) 2次不等式 $-x^2 + 4x + 1 \le 0$ を解く。 (8) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

(6) 2次方程式 $x^2 - 2x + m = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求める。

(7) 2次不等式 $-x^2 + 4x + 1 \le 0$ を解く。

(8) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(6) 2次方程式 $x^2 - 2x + m = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要がある。

判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられる。この場合、$a=1$, $b=-2$, $c=m$ なので、

$D = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ である必要があるので、

$4 - 4m > 0$

$-4m > -4$

$m < 1$

(7) 2次不等式 $-x^2 + 4x + 1 \le 0$ を解く。

まず、両辺に $-1$ をかけて、$x^2 - 4x - 1 \ge 0$ とする。

次に、$x^2 - 4x - 1 = 0$ の解を求める。解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いると、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x^2 - 4x - 1 \ge 0$ の解は、$x \le 2 - \sqrt{5}$ または $x \ge 2 + \sqrt{5}$

(8) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求める。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = 60^\circ$ と $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ である。

3. 最終的な答え

(6) $m < 1$

(7) $x \le 2 - \sqrt{5}, x \ge 2 + \sqrt{5}$

(8) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$