与えられた等式 $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left( \frac{1}{2} n(n+1) \right)^2$ が数学的帰納法によって証明される途中である。空欄7, 8, 9, 10, 11, 12を埋める必要がある。

数論数学的帰納法等式累乗和
2025/7/1

1. 問題の内容

与えられた等式 13+23+33++n3=(12n(n+1))21^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left( \frac{1}{2} n(n+1) \right)^2 が数学的帰納法によって証明される途中である。空欄7, 8, 9, 10, 11, 12を埋める必要がある。

2. 解き方の手順

(i) n=1n=1のときを考える。
①の左辺は 13=11^3 = 1 なので、7のとき、(①の左辺) = 1 となる。よって8は1。
①の右辺は (121(1+1))2=(1212)2=12=1\left( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1+1) \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \right)^2 = 1^2 = 1 なので、7のとき、(①の右辺) = 1 となる。よって9は1。
よって、①は n=1n=1 のとき成り立つ。よって10は1。
(ii) n=kn=k (kkは自然数)のとき、①が成り立つと仮定すると、
13+23+33++k3=(12k(k+1))21^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 = \left( \frac{1}{2} k(k+1) \right)^2
このとき、①が n=k+1n=k+1 のときにも成り立つことを示す。よって11は⑤。
13+23+33++k3+(k+1)3=(12k(k+1))2+(k+1)31^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \left( \frac{1}{2} k(k+1) \right)^2 + (k+1)^3
よって12は⑤。
=(k+1)24(k2+4(k+1))= \frac{(k+1)^2}{4} \left( k^2 + 4(k+1) \right)
=(k+1)24(k2+4k+4)= \frac{(k+1)^2}{4} \left( k^2 + 4k + 4 \right)
=(k+1)24(k+2)2= \frac{(k+1)^2}{4} (k+2)^2
=(12(k+1)(k+2))2= \left( \frac{1}{2} (k+1) (k+2) \right)^2
よって、①は n=k+1n=k+1 のとき成り立つ。

3. 最終的な答え

7: 1
8: 1
9: 1
10: 1
11: ⑤
12: ⑤

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