問題は、次の不定方程式を満たす整数 $x$ と $y$ の組を1つ求めることです。 (1) $42x + 29y = 2$ (2) $25x - 61y = 12$

1. 問題の内容

問題は、次の不定方程式を満たす整数 $x$ と $y$ の組を1つ求めることです。

(1) $42x + 29y = 2$

(2) $25x - 61y = 12$

2. 解き方の手順

(1) $42x + 29y = 2$

まず、特殊解を見つけるために、ユークリッドの互除法を用いて42と29の最大公約数を求めます。

$42 = 29 \times 1 + 13$

$29 = 13 \times 2 + 3$

$13 = 3 \times 4 + 1$

よって、最大公約数は1です。次に、これらの式を逆にたどって、$42x + 29y = 1$となる整数 $x$ と $y$ を求めます。

$1 = 13 - 3 \times 4$

$1 = 13 - (29 - 13 \times 2) \times 4$

$1 = 13 - 29 \times 4 + 13 \times 8$

$1 = 13 \times 9 - 29 \times 4$

$1 = (42 - 29 \times 1) \times 9 - 29 \times 4$

$1 = 42 \times 9 - 29 \times 9 - 29 \times 4$

$1 = 42 \times 9 - 29 \times 13$

したがって、$42 \times 9 + 29 \times (-13) = 1$となります。

これを2倍すると、$42 \times 18 + 29 \times (-26) = 2$となります。

よって、$x = 18$, $y = -26$ が $42x + 29y = 2$ の特殊解の一つです。

(2) $25x - 61y = 12$

まず、特殊解を見つけるために、ユークリッドの互除法を用いて25と61の最大公約数を求めます。

$61 = 25 \times 2 + 11$

$25 = 11 \times 2 + 3$

$11 = 3 \times 3 + 2$

$3 = 2 \times 1 + 1$

よって、最大公約数は1です。次に、これらの式を逆にたどって、$25x - 61y = 1$となる整数 $x$ と $y$ を求めます。

$1 = 3 - 2 \times 1$

$1 = 3 - (11 - 3 \times 3) \times 1$

$1 = 3 - 11 + 3 \times 3$

$1 = 3 \times 4 - 11$

$1 = (25 - 11 \times 2) \times 4 - 11$

$1 = 25 \times 4 - 11 \times 8 - 11$

$1 = 25 \times 4 - 11 \times 9$

$1 = 25 \times 4 - (61 - 25 \times 2) \times 9$

$1 = 25 \times 4 - 61 \times 9 + 25 \times 18$

$1 = 25 \times 22 - 61 \times 9$

したがって、$25 \times 22 - 61 \times 9 = 1$となります。

これを12倍すると、$25 \times 264 - 61 \times 108 = 12$となります。

よって、$x = 264$, $y = 108$ が $25x - 61y = 12$ の特殊解の一つです。

3. 最終的な答え

(1) $x = 18$, $y = -26$

(2) $x = 264$, $y = 108$