$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数が 5 となるような、50 以下の自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数が 5 となるような、50 以下の自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

* **ステップ 1: ユークリッドの互除法**

$4n+18$ と $3n+16$ に対してユークリッドの互除法を適用します。

$4n+18 = 1(3n+16) + (n+2)$

$3n+16 = 3(n+2) + 10$

したがって、$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数は、$n+2$ と 10 の最大公約数に等しくなります。

* **ステップ 2: 最大公約数の条件**

問題文より、$3n+16$ と $4n+18$ の最大公約数は 5 ですから、$n+2$ と 10 の最大公約数が 5 である必要があります。

これは、$n+2$ が 5 の倍数であり、かつ 10 の倍数でないことを意味します。

つまり、$n+2 = 5k$ （$k$ は奇数）と表すことができます。

* **ステップ 3: $n$ の範囲**

$n \le 50$ より、$n+2 \le 52$ です。

$n+2 = 5k \le 52$ なので、$k \le \frac{52}{5} = 10.4$ となります。

$k$ は奇数なので、$k = 1, 3, 5, 7, 9$ のいずれかです。

* **ステップ 4: $n$ の値を求める**

$k = 1$ のとき、$n+2 = 5(1) = 5$ より、$n = 3$

$k = 3$ のとき、$n+2 = 5(3) = 15$ より、$n = 13$

$k = 5$ のとき、$n+2 = 5(5) = 25$ より、$n = 23$

$k = 7$ のとき、$n+2 = 5(7) = 35$ より、$n = 33$

$k = 9$ のとき、$n+2 = 5(9) = 45$ より、$n = 43$

3. 最終的な答え

求める $n$ の値は、3, 13, 23, 33, 43 です。