不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を証明し、等号が成り立つときを調べる問題です。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を証明し、等号が成り立つときを調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を $a$ について整理します。

$a^2 - 4ab + 9b^2 \geq 0$

次に、左辺を平方完成します。

$(a - 2b)^2 - (2b)^2 + 9b^2 \geq 0$

$(a - 2b)^2 - 4b^2 + 9b^2 \geq 0$

$(a - 2b)^2 + 5b^2 \geq 0$

$(a - 2b)^2 \geq 0$ かつ $b^2 \geq 0$ であるため、$(a - 2b)^2 + 5b^2 \geq 0$ は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$(a - 2b)^2 = 0$ かつ $5b^2 = 0$ のときです。

$(a - 2b)^2 = 0$ より $a - 2b = 0$ なので、$a = 2b$

$5b^2 = 0$ より $b = 0$

したがって、$a = 2(0) = 0$ となります。

よって、$a = 0$ かつ $b = 0$ のとき、等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ は常に成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = 0$ かつ $b = 0$ のとき。