数列 $a_n$ が、$a_n = \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i \right)^{2n}$ で定義されている。 (1) $a_1$ を極形式で表せ。 (2) $a_n$ を実数とする最小の自然数 $n$ の値と、そのときの $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が、$a_n = \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i \right)^{2n}$ で定義されている。

(1) $a_1$ を極形式で表せ。

(2) $a_n$ を実数とする最小の自然数 $n$ の値と、そのときの $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ を求める。

$a_1 = \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i \right)^{2}$

複素数 $z = \frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$ の絶対値 $r$ を計算する。

$r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3+2\sqrt{3}+1}{4} + \frac{3-2\sqrt{3}+1}{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$

$z = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}i \right)$

偏角 $\theta$ を求める。

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{12}$

したがって、$z = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right)$

$a_1 = z^2 = (\sqrt{2})^2 \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right)^2 = 2 \left( \cos\frac{2\pi}{12} + i\sin\frac{2\pi}{12} \right) = 2 \left( \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} \right)$

$a_1 = 2 \left( \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} \right)$

(2) $a_n$ を求める。

$a_n = \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i \right)^{2n} = z^{2n} = \left( \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right) \right)^{2n} = (\sqrt{2})^{2n} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right)^{2n}$

$a_n = 2^n \left( \cos\frac{2n\pi}{12} + i\sin\frac{2n\pi}{12} \right) = 2^n \left( \cos\frac{n\pi}{6} + i\sin\frac{n\pi}{6} \right)$

$a_n$ が実数になるためには、$\sin\frac{n\pi}{6} = 0$ でなければならない。

$\frac{n\pi}{6} = k\pi$ ($k$ は整数)

$n = 6k$

最小の自然数 $n$ は、$n = 6$

このとき、$a_6 = 2^6 \left( \cos\frac{6\pi}{6} + i\sin\frac{6\pi}{6} \right) = 2^6 (\cos\pi + i\sin\pi) = 64 (-1 + 0i) = -64$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 2\left( \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} \right)$

(2) $n = 6$, $a_6 = -64$