与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値を求めよ。 (1) $y = 2x^2 + 4x + 1$ (2) $y = -x^2 + 2x + 3$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値を求めよ。

(1) $y = 2x^2 + 4x + 1$

(2) $y = -x^2 + 2x + 3$

2. 解き方の手順

2次関数の最大値・最小値を求めるには、平方完成して頂点の座標を求める。

(1) $y = 2x^2 + 4x + 1$ の場合

まず、$x^2$の係数で括る。

$y = 2(x^2 + 2x) + 1$

次に、括弧の中を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2((x+1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x+1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x+1)^2 - 1$

この式から、頂点の座標は$(-1, -1)$であり、下に凸のグラフなので、最小値は$-1$である。最大値は存在しない。

(2) $y = -x^2 + 2x + 3$ の場合

まず、$x^2$の係数で括る。

$y = -(x^2 - 2x) + 3$

次に、括弧の中を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$y = -((x-1)^2 - 1) + 3$

$y = -(x-1)^2 + 1 + 3$

$y = -(x-1)^2 + 4$

この式から、頂点の座標は$(1, 4)$であり、上に凸のグラフなので、最大値は$4$である。最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 最小値：$-1$、最大値：なし

(2) 最大値：$4$、最小値：なし