与えられた連立不等式を解く問題です。 連立不等式は次の通りです。 $x^2 - 10x + 20 < 0$ $-x^2 + 6x - 3 > 0$

1. 問題の内容

与えられた連立不等式を解く問題です。

連立不等式は次の通りです。

$x^2 - 10x + 20 < 0$

$-x^2 + 6x - 3 > 0$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式 $x^2 - 10x + 20 < 0$ を解きます。

$x^2 - 10x + 20 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(20)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 5 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x^2 - 10x + 20 < 0$ の解は $5 - \sqrt{5} < x < 5 + \sqrt{5}$ です。

次に、二つ目の不等式 $-x^2 + 6x - 3 > 0$ を解きます。

両辺に $-1$ をかけて $x^2 - 6x + 3 < 0$ とします。

$x^2 - 6x + 3 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

したがって、$x^2 - 6x + 3 < 0$ の解は $3 - \sqrt{6} < x < 3 + \sqrt{6}$ です。

連立不等式の解は、二つの不等式の解の共通範囲です。

$5 - \sqrt{5} \approx 5 - 2.236 = 2.764$

$5 + \sqrt{5} \approx 5 + 2.236 = 7.236$

$3 - \sqrt{6} \approx 3 - 2.449 = 0.551$

$3 + \sqrt{6} \approx 3 + 2.449 = 5.449$

よって、$5 - \sqrt{5} < x < 5 + \sqrt{5}$ と $3 - \sqrt{6} < x < 3 + \sqrt{6}$ の共通範囲は、$5 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{6}$ です。

3. 最終的な答え

$5 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{6}$