写真に写っている3つの問題のうち、問題7を解きます。 問題7は等差数列の問題で、以下の2つの小問があります。 (1) 第8項が73, 第13項が43であるような等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

1. 問題の内容

写真に写っている3つの問題のうち、問題7を解きます。

問題7は等差数列の問題で、以下の2つの小問があります。

(1) 第8項が73, 第13項が43であるような等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ で表されます。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、第8項 $a_8 = a + 7d = 73$ であり、第13項 $a_{13} = a + 12d = 43$ です。

これら2つの式から $a$ と $d$ を求めます。

$a + 12d = 43$

$a + 7d = 73$

上の式から下の式を引くと、

$5d = -30$

$d = -6$

$d = -6$ を $a + 7d = 73$ に代入すると、

$a + 7(-6) = 73$

$a - 42 = 73$

$a = 115$

したがって、一般項は $a_n = 115 + (n-1)(-6) = 115 - 6n + 6 = 121 - 6n$ となります。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ で表されます。

この問題では、$a = 115$、$d = -6$ なので、

$S_n = \frac{n}{2}(2(115) + (n-1)(-6)) = \frac{n}{2}(230 - 6n + 6) = \frac{n}{2}(236 - 6n) = n(118 - 3n) = -3n^2 + 118n$ となります。

和 $S_n$ が最大になるのは、$a_n$ が正である項までの和です。

$a_n = 121 - 6n > 0$ より、$6n < 121$、$n < \frac{121}{6} \approx 20.17$ となるので、$n \le 20$ となります。

$n=20$のとき、$a_{20} = 121 - 6(20) = 121 - 120 = 1 > 0$

$n=21$のとき、$a_{21} = 121 - 6(21) = 121 - 126 = -5 < 0$

したがって、初項から第20項までの和が最大となります。

$S_{20} = 20(118 - 3(20)) = 20(118 - 60) = 20(58) = 1160$

3. 最終的な答え

(1) 一般項：$a_n = 121 - 6n$

(2) 初項から第20項までの和が最大で、その和は1160。