以下の3つの問題を解きます。 (1) $\sum_{k=1}^{50} k^2$ を求めよ。 (2) $S = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + 50^2$ を求めよ。 (3) $T = 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$ を求めよ。

1. 問題の内容

以下の3つの問題を解きます。

(1) $\sum_{k=1}^{50} k^2$ を求めよ。

(2) $S = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + 50^2$ を求めよ。

(3) $T = 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ の公式を利用します。

$n = 50$ を代入すると、

$\sum_{k=1}^{50} k^2 = \frac{1}{6} \times 50 \times (50+1) \times (2 \times 50 + 1) = \frac{1}{6} \times 50 \times 51 \times 101 = \frac{257550}{6} = 42925$

(2) $S = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + 50^2 = \sum_{k=1}^{25} (2k)^2 = \sum_{k=1}^{25} 4k^2 = 4\sum_{k=1}^{25} k^2$

$\sum_{k=1}^{25} k^2 = \frac{1}{6} \times 25 \times (25+1) \times (2 \times 25 + 1) = \frac{1}{6} \times 25 \times 26 \times 51 = \frac{33150}{6} = 5525$

よって、$S = 4 \times 5525 = 22100$

(3) $T = (50^2 - 49^2) + (48^2 - 47^2) + \dots + (2^2 - 1^2)$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用すると、

$T = (50+49)(50-49) + (48+47)(48-47) + \dots + (2+1)(2-1)$

$T = (50+49) + (48+47) + \dots + (2+1) = \sum_{k=1}^{50} k = \frac{50(50+1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = 25 \times 51 = 1275$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{50} k^2 = 42925$

(2) $S = 22100$

(3) $T = 1275$