次の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1^2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 5 + 4^2 \cdot 7 + \dots + n^2 (2n - 1)$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1^2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 5 + 4^2 \cdot 7 + \dots + n^2 (2n - 1)$

2. 解き方の手順

まず、一般項を求めます。第$k$項は $k^2(2k-1)$ と表せます。したがって、求める和は以下のようになります。

$S = \sum_{k=1}^{n} k^2(2k-1) = \sum_{k=1}^{n} (2k^3 - k^2)$

次に、和の性質を利用して、式を分解します。

$S = 2\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k^2$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ および $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を利用します。

$S = 2 \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S = 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S = \frac{n^2(n+1)^2}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S = \frac{3n^2(n+1)^2 - n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S = \frac{n(n+1)\{3n(n+1) - (2n+1)\}}{6}$

$S = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n - 2n - 1)}{6}$

$S = \frac{n(n+1)(3n^2 + n - 1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(3n^2+n-1)}{6}$