次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1^2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 5 + 4^2 \cdot 7 + \dots + n^2(2n-1)$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1^2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 5 + 4^2 \cdot 7 + \dots + n^2(2n-1)$

2. 解き方の手順

まず、一般項を求める。

$k$ 番目の項は $k^2(2k-1)$ と表せる。したがって、$S$ は以下のようになる。

$S = \sum_{k=1}^{n} k^2(2k-1) = \sum_{k=1}^{n} (2k^3 - k^2)$

次に、$\sum$ の性質を使って、以下のように分解する。

$S = 2 \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらを代入して、$S$ を計算する。

$S = 2 (\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 2 \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^2(n+1)^2}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S = \frac{3n^2(n+1)^2 - n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1) [3n(n+1) - (2n+1)]}{6} = \frac{n(n+1) [3n^2+3n-2n-1]}{6} = \frac{n(n+1) (3n^2+n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(3n^2+n-1)}{6}$