2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ …① を解け。また、不等式①と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ …① を解け。また、不等式①と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の解を求める。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ であるから、 $a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2)

$a^2 + b^2 = (2-\sqrt{6})^2 + (2+\sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{20}{-2} = -10$

(3)

不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ より、

$-\left|\frac{b}{a}\right| \le x - \frac{a}{b} \le \left|\frac{b}{a}\right|$

$\frac{a}{b} - \left|\frac{b}{a}\right| \le x \le \frac{a}{b} + \left|\frac{b}{a}\right|$

$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$\frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{1}{-5 + 2\sqrt{6}} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{(-5 + 2\sqrt{6})(-5 - 2\sqrt{6})} = \frac{-5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = -5 - 2\sqrt{6}$

$\left|\frac{b}{a}\right| = |-5 - 2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6}$

$-5 + 2\sqrt{6} - (5 + 2\sqrt{6}) \le x \le -5 + 2\sqrt{6} + (5 + 2\sqrt{6})$

$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

$4\sqrt{6} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{96}$ であり、 $9 < \sqrt{96} < 10$ なので、$9 < 4\sqrt{6} < 10$

したがって、 $-10 \le x \le 4\sqrt{6}$ を満たす整数は $-10, -9, \dots, 8, 9$ の20個。

次に、 $k \le x \le k+3$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在する場合を考える。

$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$ と $k \le x \le k+3$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど2個存在する。

$k \le x \le k+3$ には整数 $k, k+1, k+2, k+3$ が含まれる。

2つの不等式を満たす整数がちょうど2個になるためには、

$k$ が $-10 \le x \le 4\sqrt{6}$ の範囲内に入っていて、$k+3$ がその範囲内にある必要がある。

$k+4$ が範囲外になる必要がある。

$k \le 9$ かつ $k+1 \ge -10$, $k+2\ge -10$, $k+3 \ge -10$ となる。

$k+10$ が範囲外になる必要がある。

範囲の端点について場合分けを考える。

1. 範囲の左端から2個の場合：$k = -10$ の時、xは-10, -9の2個。

2. 範囲の右端から2個の場合： $k+3 \le 9.797...$ より $k \le 6.797...$ の範囲で考える。$k+1=9$ かつ $k+2< -10$となる$k$は存在しない。

$k$が整数の時、 $k$と$k+1$が整数である必要がある。

$k+3$は$x \le 4\sqrt{6} \approx 9.797...$を満たす必要がある。

つまり $k+3 \le 9$ となる必要があるので $k \le 6$

$k+3 = 9$となる$k=6$のとき、$x$は6,7,8,9 の4個となり、条件を満たさない。

$x$が2個となるためには、$k+3>7$, $k+2<=9$ $k<=7$ かつ$k+3 <=9$を満たす必要があるので、$6.7<7$

整数が2個の場合、$k+3$の範囲を考えると $7<k+3<=8$ $4<=k<=5$を満たす

$6<=k+3<7$, $3<=k<4$ $整数が存在しない

$5<=k+3<6$ $2<=k<3$ $x=2$ $x=2.5$ $x=4$ 整数が存在しない

$4<=k+3<5$, $1<=k<2$ 整数は存在しない。

$6 < k < 7$のとき、7<x<=10

$k=-7 の時、$x$=-10, -9

$4 <= k+3<5$

-10 <= x

1. 最終的な答え

$k = -10$ の時、満たす整数は2個。

$6 < k \le 7$の時、xは7となり整数は1個

$x$ = 8, 9の2個の場合、 $5 < k <= 6$ 整数は存在しない

$6 < k <= 7$

$k = -10$

-10の時、-10と-9 の二個

6から7の時

7から8のとき

7<k<=8

k>= 7

x =7 は1個しかない

なので存在しない。

k = -10