等比数列 $\{a_n\}$ があり、初項から第3項までの和が35、第2項から第4項までの和が70である。 (1) この数列の一般項を求めよ。 (2) この数列の第5項から第7項までの和を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ があり、初項から第3項までの和が35、第2項から第4項までの和が70である。

(1) この数列の一般項を求めよ。

(2) この数列の第5項から第7項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とする。

初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2)$ であり、これが35に等しい。

第2項から第4項までの和は $ar + ar^2 + ar^3 = ar(1 + r + r^2)$ であり、これが70に等しい。

したがって、次の2つの式が得られる。

$a(1 + r + r^2) = 35$

$ar(1 + r + r^2) = 70$

2番目の式を1番目の式で割ると、

$\frac{ar(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{70}{35}$

$r = 2$

この値を最初の式に代入すると、

$a(1 + 2 + 2^2) = 35$

$a(1 + 2 + 4) = 35$

$7a = 35$

$a = 5$

したがって、一般項は $a_n = ar^{n-1} = 5 \cdot 2^{n-1}$ となる。

(2)

第5項から第7項までの和は $a_5 + a_6 + a_7 = ar^4 + ar^5 + ar^6 = ar^4(1 + r + r^2)$ で与えられる。

$a = 5$ および $r = 2$ を代入すると、

$5 \cdot 2^4(1 + 2 + 2^2) = 5 \cdot 16(1 + 2 + 4) = 5 \cdot 16 \cdot 7 = 80 \cdot 7 = 560$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

(2) 第5項から第7項までの和: 560