与えられた等比数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。 (1) 一般項 $a_n$ を求める。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた等比数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。ここで $a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号である。

与えられた数列は $3, -12, 48, -192, \dots$ であるから、初項は $a_1 = 3$ である。

公比 $r$ は、隣り合う項の比をとることで求められる。例えば、第2項を第1項で割ると $r = \frac{-12}{3} = -4$ となる。第3項を第2項で割ると $r = \frac{48}{-12} = -4$ となる。よって、公比は $r = -4$ である。

したがって、一般項は

$a_n = 3 \cdot (-4)^{n-1}$

である。

(2) 等比数列の和の公式は、公比 $r \neq 1$ のとき、$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ で表される。

初項は $a_1 = 3$、公比は $r = -4$ であるから、

$S_n = \frac{3(1-(-4)^n)}{1-(-4)} = \frac{3(1-(-4)^n)}{5}$

となる。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot (-4)^{n-1}$

(2) $S_n = \frac{3(1-(-4)^n)}{5}$