2次方程式 $x^2 + 2ax + 2a + 3 = 0$ が実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2ax + 2a + 3 = 0$ が実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D$ が0以上である必要がある。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられる。

この問題の場合、$a = 1$, $b = 2a$, $c = 2a + 3$ なので、

$D = (2a)^2 - 4(1)(2a + 3)$

$D = 4a^2 - 8a - 12$

実数解を持つためには、$D \ge 0$ でなければならないので、

$4a^2 - 8a - 12 \ge 0$

両辺を4で割ると、

$a^2 - 2a - 3 \ge 0$

$(a - 3)(a + 1) \ge 0$

この不等式を解く。

$a - 3 = 0$ と $a + 1 = 0$ を解くと、$a = 3$ と $a = -1$ を得る。

$a < -1$ のとき、$(a - 3)(a + 1) > 0$

$-1 < a < 3$ のとき、$(a - 3)(a + 1) < 0$

$a > 3$ のとき、$(a - 3)(a + 1) > 0$

したがって、 $a \le -1$ または $a \ge 3$ が解となる。

3. 最終的な答え

$a \le -1, a \ge 3$