第16項が-37、第21項が-62である等差数列$\{a_n\}$がある。 (1) 初項と公差を求めよ。また、一般項を求めよ。 (2) 3は第何項か。

1. 問題の内容

第16項が-37、第21項が-62である等差数列$\{a_n\}$がある。

(1) 初項と公差を求めよ。また、一般項を求めよ。

(2) 3は第何項か。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで $a_1$ は初項、$d$ は公差である。

第16項が-37であることから、

$a_{16} = a_1 + (16-1)d = a_1 + 15d = -37$

第21項が-62であることから、

$a_{21} = a_1 + (21-1)d = a_1 + 20d = -62$

この2つの式から $a_1$ と $d$ を求める。

2番目の式から最初の式を引くと、

$(a_1 + 20d) - (a_1 + 15d) = -62 - (-37)$

$5d = -25$

$d = -5$

これを最初の式に代入すると、

$a_1 + 15(-5) = -37$

$a_1 - 75 = -37$

$a_1 = -37 + 75 = 38$

したがって、初項は38、公差は-5である。

一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 38 + (n-1)(-5) = 38 - 5n + 5 = 43 - 5n$

(2)

$a_n = 3$ となる $n$ を求める。

$43 - 5n = 3$

$-5n = 3 - 43$

$-5n = -40$

$n = 8$

したがって、3は第8項である。

3. 最終的な答え

(1) 初項: 38, 公差: -5, 一般項: $a_n = 43 - 5n$

(2) 第8項