第16項が12、第26項が-18である等差数列 $\{a_n\}$ があります。 (1) 初項と公差を求め、一般項を求めてください。 (2) -3 は第何項か求めてください。

1. 問題の内容

第16項が12、第26項が-18である等差数列 $\{a_n\}$ があります。

(1) 初項と公差を求め、一般項を求めてください。

(2) -3 は第何項か求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$、公差を $d$ とします。等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ と表されます。

第16項が12なので、

$a_{16} = a + 15d = 12$

第26項が-18なので、

$a_{26} = a + 25d = -18$

これらの連立方程式を解きます。

$a + 15d = 12$

$a + 25d = -18$

2つの式を引き算すると、

$(a + 25d) - (a + 15d) = -18 - 12$

$10d = -30$

$d = -3$

$d = -3$ を $a + 15d = 12$ に代入すると、

$a + 15(-3) = 12$

$a - 45 = 12$

$a = 57$

したがって、初項は57、公差は-3です。

一般項は、

$a_n = a + (n-1)d = 57 + (n-1)(-3) = 57 - 3n + 3 = 60 - 3n$

(2) $a_n = -3$ となる $n$ を求めます。

$60 - 3n = -3$

$-3n = -63$

$n = 21$

したがって、-3 は第21項です。

3. 最終的な答え

(1) 初項：57、公差：-3、一般項：$a_n = 60 - 3n$

(2) 第21項