初項が3、第7項が51である等差数列$\{a_n\}$の公差と一般項を求めよ。

1. 問題の内容

初項が3、第7項が51である等差数列$\{a_n\}$の公差と一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は、初項を$a$、公差を$d$とすると、

$a_n = a + (n-1)d$で表されます。

問題文より、初項$a=3$、第7項$a_7 = 51$であることがわかります。

したがって、

$a_7 = a + (7-1)d = 3 + 6d = 51$

となります。

この式から公差$d$を求めます。

$3+6d = 51$

$6d = 51 - 3$

$6d = 48$

$d = \frac{48}{6} = 8$

したがって、公差は8です。

次に一般項$a_n$を求めます。

$a_n = a + (n-1)d = 3 + (n-1)8 = 3 + 8n - 8 = 8n - 5$

したがって、一般項は$a_n = 8n - 5$です。

3. 最終的な答え

公差：8

一般項：$a_n = 8n - 5$