$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 6x + 6$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 6x + 6$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + 6 = (x - 3)^2 - 3$

この2次関数のグラフは、下に凸の放物線であり、軸は $x = 3$ です。

定義域は $0 \le x \le a$ です。

最小値を求めるには、軸 $x = 3$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けが必要です。

(1) $0 < a < 3$ のとき、定義域において関数は減少するため、最小値は $x = a$ のときにとります。

$y = a^2 - 6a + 6$

(2) $a \ge 3$ のとき、軸 $x = 3$ が定義域に含まれるため、最小値は $x = 3$ のときにとります。

$y = (3-3)^2 - 3 = -3$

したがって、最小値は以下のようになります。

$0 < a < 3$ のとき: $a^2 - 6a + 6$

$a \ge 3$ のとき: $-3$

3. 最終的な答え

$0 < a < 3$ のとき: $a^2 - 6a + 6$

$a \ge 3$ のとき: $-3$