実数 $a$ を定数とする。連立不等式 $x^2 - 18x - 40 > 0$ $(x+1)(x-a^2+a) < 0$ を満たす $x$ が存在しないときの $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。連立不等式

$x^2 - 18x - 40 > 0$

$(x+1)(x-a^2+a) < 0$

を満たす $x$ が存在しないときの $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $x^2 - 18x - 40 > 0$ を解く。

$(x - 20)(x + 2) > 0$

より、$x < -2$ または $x > 20$ である。

次に、不等式 $(x+1)(x-a^2+a) < 0$ を解く。

ここで、$a^2 - a$ と $-1$ の大小関係によって場合分けが必要になる。

(i) $a^2 - a < -1$ のとき、つまり $a^2 - a + 1 < 0$ のとき。

$a^2 - a + 1 = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ より、このような $a$ は存在しない。

(ii) $a^2 - a = -1$ のとき、つまり $a^2 - a + 1 = 0$ のとき。

これも実数解を持たないので、このような $a$ は存在しない。

(iii) $a^2 - a > -1$ のとき、つまり $a^2 - a + 1 > 0$ のとき。

この不等式は常に成立するので、すべての実数 $a$ で成り立つ。

このとき、不等式 $(x+1)(x-a^2+a) < 0$ の解は $-1 < x < a^2 - a$ である。

連立不等式を満たす $x$ が存在しないためには、

$-1 \ge a^2 - a$ のとき $a^2 - a = -1$ となり、不等式 $(x+1)(x-a^2+a)<0$ は $(x+1)^2 < 0$ となり、解が存在しない。

$-1 < x < a^2-a$ と $x < -2$ または $x > 20$ に共通部分がないことが必要十分である。

よって、以下の2つの条件が成り立つ必要がある。

(1) $a^2 - a \le -2$

(2) $a^2 - a \ge 20$

(1) $a^2 - a + 2 \le 0$

$a^2 - a + 2 = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4} > 0$ より、このような $a$ は存在しない。

しかし連立不等式を満たす $x$ が存在しないためには、区間 $(-1, a^2-a)$ が区間 $(-\infty, -2)$ または $(20, \infty)$ と共通部分を持たないことが必要である。つまり、$a^2-a \le -2$ または $a^2-a \ge 20$ を満たさなければならない。

(1) $a^2 - a \le -2$ の場合、 $a^2 - a + 2 \le 0$ となる。しかし、 $a^2 - a + 2 = (a - 1/2)^2 + 7/4 > 0$ なので、このような $a$ は存在しない。

(2) $a^2 - a \ge 20$ の場合、 $a^2 - a - 20 \ge 0$ となる。 $(a-5)(a+4) \ge 0$ より、$a \le -4$ または $a \ge 5$ である。

また、$a^2 - a \le 20$ ならば、連立不等式を満たす $x$ が存在する。

$a^2 - a - 20 \le 0$ より、 $(a-5)(a+4) \le 0$ なので、 $-4 \le a \le 5$ である。

$a^2 - a$ のとりうる値の範囲は $-4 \le a^2 - a \le 20$ のとき、 $-1 < x < a^2-a$ なので、$-1$ に限りなく近い値は $-2$ より大きく、また、$20$ に限りなく近い値は20より小さいので、区間 $(-1, a^2-a)$ が区間 $(-\infty, -2)$ または $(20, \infty)$ と共通部分を持つ。したがって、連立不等式を満たす $x$ が存在する。

よって、$a^2-a \le -1$ となる $a$ は存在しない。

したがって、$a \le -4$ または $a \ge 5$ のとき、連立不等式を満たす $x$ は存在しない。

3. 最終的な答え

$a \le -4$ または $a \ge 5$