(1) 関数 $y = -\log_2(1 + \frac{1}{x})$ が連続である範囲を求める問題。 (2) 関数 $f(x) = [1-x^2]$ が $x=0$ において連続かどうかを答える問題。ここで、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -\log_2(1 + \frac{1}{x})$ が連続である範囲を求める問題。

(2) 関数 $f(x) = [1-x^2]$ が $x=0$ において連続かどうかを答える問題。ここで、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = -\log_2(1 + \frac{1}{x})$ の連続性を考える。

まず、対数関数が定義されるためには、真数条件より $1 + \frac{1}{x} > 0$ が必要である。

つまり、$1 + \frac{1}{x} > 0$。これを解くと $\frac{x+1}{x} > 0$。

この不等式が成り立つのは、$x > 0$ または $x < -1$ のとき。

また、対数関数は定義域内で連続なので、$x > 0$ または $x < -1$ が求める範囲となる。

したがって、(1)の答えは $-1$ 、(2)の答えは $0$ となる。

(2) 関数 $f(x) = [1-x^2]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる。

$x=0$ での関数値は $f(0) = [1 - 0^2] = [1] = 1$。

$x$ が $0$ に近づくときの極限値を求める。

$x$ が $0$ に近づくとき、$1 - x^2$ は $1$ に近づく。

$x$ が $0$ に近いとき、$1 - x^2$ は $1$ より小さい値もとる。

$1 - x^2$ が $1$ よりわずかに小さいとき、$[1 - x^2] = 0$ となることはない。

$x$ が $0$ に近づくとき、$1-x^2$ は $1$ に近づくため、$[1-x^2]$ は $1$ に近づく。

したがって、$\lim_{x \to 0} [1-x^2] = 1$

$f(0) = 1$ であり、極限値 $\lim_{x \to 0} [1-x^2] = 1$ であるから、$f(x)$ は $x=0$ で連続である。

3. 最終的な答え

(1) $x < -1$ または $0 < x$ の範囲で連続。

(2) 連続である。