与えられた関数 $f(x)$ に対して、マクローリンの定理を $n=3$ まで適用して展開せよ。具体的には、以下の関数についてマクローリン展開を求める。 (1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ (2) $f(x) = \sin x$ (3) $f(x) = \log(1+x)$ (4) $f(x) = \cos 2x$ (5) $f(x) = a^x$ ($a > 0$) (6) $f(x) = \sqrt{1-x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、マクローリンの定理を $n=3$ まで適用して展開せよ。具体的には、以下の関数についてマクローリン展開を求める。

(1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$

(2) $f(x) = \sin x$

(3) $f(x) = \log(1+x)$

(4) $f(x) = \cos 2x$

(5) $f(x) = a^x$ ($a > 0$)

(6) $f(x) = \sqrt{1-x}$

2. 解き方の手順

マクローリンの定理は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開するもので、以下の式で表される。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

各関数について、まず $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ を計算する。その後、上記の式に代入して、$x^3$ の項までを求める。

(1) $f(x) = \frac{1}{1+x}$

$f(0) = 1$

$f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ , $f'(0) = -1$

$f''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$ , $f''(0) = 2$

$f'''(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$ , $f'''(0) = -6$

したがって、$f(x) \approx 1 - x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{-6}{3!}x^3 = 1 - x + x^2 - x^3$

(2) $f(x) = \sin x$

$f(0) = 0$

$f'(x) = \cos x$ , $f'(0) = 1$

$f''(x) = -\sin x$ , $f''(0) = 0$

$f'''(x) = -\cos x$ , $f'''(0) = -1$

したがって、$f(x) \approx 0 + x + 0 - \frac{1}{3!}x^3 = x - \frac{x^3}{6}$

(3) $f(x) = \log(1+x)$

$f(0) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$ , $f'(0) = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ , $f''(0) = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$ , $f'''(0) = 2$

したがって、$f(x) \approx 0 + x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

(4) $f(x) = \cos 2x$

$f(0) = 1$

$f'(x) = -2\sin 2x$ , $f'(0) = 0$

$f''(x) = -4\cos 2x$ , $f''(0) = -4$

$f'''(x) = 8\sin 2x$ , $f'''(0) = 0$

したがって、$f(x) \approx 1 + 0 - \frac{4}{2}x^2 + 0 = 1 - 2x^2$

(5) $f(x) = a^x$

$f(0) = 1$

$f'(x) = a^x \log a$ , $f'(0) = \log a$

$f''(x) = a^x (\log a)^2$ , $f''(0) = (\log a)^2$

$f'''(x) = a^x (\log a)^3$ , $f'''(0) = (\log a)^3$

したがって、$f(x) \approx 1 + (\log a) x + \frac{(\log a)^2}{2}x^2 + \frac{(\log a)^3}{6}x^3$

(6) $f(x) = \sqrt{1-x}$

$f(0) = 1$

$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ , $f'(0) = -\frac{1}{2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4(1-x)^{3/2}}$ , $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(x) = -\frac{3}{8(1-x)^{5/2}}$ , $f'''(0) = -\frac{3}{8}$

したがって、$f(x) \approx 1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{16}x^3$

3. 最終的な答え

(1) $1 - x + x^2 - x^3$

(2) $x - \frac{x^3}{6}$

(3) $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

(4) $1 - 2x^2$

(5) $1 + (\log a) x + \frac{(\log a)^2}{2}x^2 + \frac{(\log a)^3}{6}x^3$

(6) $1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{16}x^3$