与えられた2つの2変数関数 $f(x, y)$ が、原点$(0, 0)$ で連続であるかどうかを調べる問題です。それぞれの関数は、$(x, y) \neq (0, 0)$ の場合に定義される式と、$f(0, 0) = 0$ という条件で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた2つの2変数関数 $f(x, y)$ が、原点$(0, 0)$ で連続であるかどうかを調べる問題です。それぞれの関数は、$(x, y) \neq (0, 0)$ の場合に定義される式と、$f(0, 0) = 0$ という条件で与えられています。

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ の場合

原点での連続性を調べるには、極限 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ を計算し、その値が $f(0, 0) = 0$ と一致するかどうかを確認します。極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。このとき、$r \to 0$ となります。

$f(x, y) = \frac{(r\cos\theta)^2}{\sqrt{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2}} = \frac{r^2\cos^2\theta}{\sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}} = \frac{r^2\cos^2\theta}{\sqrt{r^2}} = \frac{r^2\cos^2\theta}{|r|}$

$r > 0$ であるから、$|r| = r$ となり、

$f(x, y) = \frac{r^2\cos^2\theta}{r} = r\cos^2\theta$

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = \lim_{r \to 0} r\cos^2\theta = 0$

なぜなら、$0 \le \cos^2\theta \le 1$ より、$r\cos^2\theta$ は $r$ に比例し、 $r \to 0$ で $0$ に収束するからです。したがって、極限値は $f(0, 0) = 0$ と一致するので、$f(x, y)$ は原点で連続です。

(2) $f(x, y) = \frac{xy}{\sin(x^2 + y^2)}$ の場合

同様に、極限 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ を計算します。極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。

$f(x, y) = \frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{\sin((r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2)} = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{\sin(r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta))} = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{\sin(r^2)}$

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = \lim_{r \to 0} \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{\sin(r^2)}$

ここで、$u = r^2$ とおくと、$r \to 0$ のとき $u \to 0$ なので、

$\lim_{r \to 0} \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{\sin(r^2)} = \lim_{u \to 0} \frac{u\cos\theta\sin\theta}{\sin u} = \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} \cdot \cos\theta\sin\theta = 1 \cdot \cos\theta\sin\theta = \cos\theta\sin\theta$

この極限値は $\theta$ に依存するため、一意に定まりません。例えば、$\theta = 0$ のとき $\cos\theta\sin\theta = 0$ ですが、$\theta = \pi/4$ のとき $\cos\theta\sin\theta = (1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) = 1/2$ となります。したがって、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ は存在しません。よって、$f(x, y)$ は原点で不連続です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ は原点で連続である。

(2) $f(x, y) = \frac{xy}{\sin(x^2 + y^2)}$ は原点で不連続である。